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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 5 - Derivadas

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1. Hallar la derivada de la función $f$ usando las reglas de derivación.
g) $f(x)=\frac{3 x^{2}+x}{x^{4}+3}$

Respuesta

Aplicamos la regla del cociente o de la división para derivar funciones del tipo $\frac{f}{g}$, donde la derivada es $\frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}$.


$f'(x) = \frac{( 3x^{2} + x)'(x^{4} + 3) - (3x^{2} + x)(x^{4} + 3)'}{(x^{4} + 3)^2}$


$ f'(x) = \frac{(6x + 1)(x^4 + 3) - (3x^2 + x)(4x^3)}{(x^4 + 3)^2} $


$ f'(x) = \frac{(6x \cdot x^4 + 6x \cdot 3 + 1 \cdot x^4 + 1 \cdot 3) - (3x^2 \cdot 4x^3 + x \cdot 4x^3)}{(x^4 + 3)^2} $

$ f'(x) = \frac{(6x^5 + 18x + x^4 + 3) - (12x^5 + 4x^4)}{(x^4 + 3)^2} $
Con eso ya llegamos al resultado, pero podés operar para obtener una expresión más simple:

$ f'(x) = \frac{6x^5 + 18x + x^4 + 3 - 12x^5 - 4x^4}{(x^4 + 3)^2} $

$ f'(x) = \frac{6x^5 - 12x^5 + x^4 - 4x^4 + 18x + 3}{(x^4 + 3)^2} $

$ f'(x) = \frac{-6x^5 - 3x^4 + 18x + 3}{(x^4 + 3)^2} $


¿Aww no es ésta una expresión más linda?
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Avatar Veronica 23 de junio 17:33
Profe tengo la duda de donde sale el -12x⁵ en el paso 2, donde se está simplificando la derivada 
Avatar Julieta Profesor 24 de junio 18:26
@Veronica Hola Vero! Sale de multiplicar en el paso anterior las $3x^2 . 4 x^3$


2025-06-24%2018:26:07_9949397.png

Y después tenés que distribuir el signo - que está delante del paréntesis, aplicando la regla de los signos, por eso te termina quedando $-12x^5 + 4x^4$
Avatar Veronica 24 de junio 18:30
@Julieta Muchas gracias profe, sos una genial ya me siento con más confianza para el segundo parcial 💪💪
Avatar Ámbar 1 de junio 20:11
Holi, una consulta, la expresión de (x⁴+3)² está mal si hago el calculo ahí? O sea hacer el cuadrado de un binomio, o hay que dejarlo así como estaba? 
Avatar Julieta Profesor 2 de junio 13:22
@Ámbar Hola Ámbar! Recomiendo no hacerla, porque son más cuentas al pepe.
Avatar Ámbar 2 de junio 17:10
@Julieta dale dale, gracias <3
Avatar camila 6 de noviembre 20:56
hola Juli, en el segundo paso no puedo simplificar el (x^4+3) del numerador con el denominador de abajo que está elevado al ^2? quedando solo abajo x^4+3 una vez que simplifique 
Avatar Julieta Profesor 25 de noviembre 18:10
@camila Hola! Nop! Porque está involucrado en una resta en el numerador
Avatar Mallo 17 de octubre 20:02
hola profe, no entiendo que paso en el tercer renglon hasta ahi me quede 
Avatar Julieta Profesor 18 de octubre 09:22
@Mallo Hola del segundo al tercero hicimos la distributiva en cada uno de los dos términos que hay, entonces pasamos de tener en cada término dos paréntesis a tener un solo paréntesis en cada término. Después empezamos a hacer las cuentas pertinentes en cada término: multiplicar los números, las x.
Avatar Abigail 6 de octubre 16:23
Profe que hiciste para cuando sacaste los paréntesis, el segundo termino de 12x^5 y el 4x^4 están con el signo negativo? Aplicaste distributiva con el signo? Y si aplicaste, podría haber aplicado distributiva con el primer término y el segundo dejarlo con sus signos (+) y sacar su paréntesis?
Avatar Julieta Profesor 9 de octubre 17:17
@Abigail Sí, hice distributiva del -1 que está antes del paréntesis (o sea, para sacar el - que viene delante de un paréntesis tenés que hacer la distributiva de ese -). La distributiva se hace en todo lo que esté dentro del paréntesis, en ambos términos. 
Avatar Abigail 10 de octubre 14:11
@Julieta ay profe me cuesta saber cuando hay que ponerle parentesis en la division, me da una crisis un poco mas jajaj :(
Avatar Brenda 14 de junio 13:14
hola profe, tengo una pequeña duda no entiendo en el ultimo osea en la respuesta, de donde salio 3x con potencia 4?
Avatar Julieta Profesor 18 de junio 16:47
@Brenda Hola Bren, de hacer $ x^4 - 4 x^4 $ si hago esa cuenta me da $-3 x^4$
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